이산형 확률분포
확률분포 정의 단계
- 확률 실험 /
시행 (trial) - 표본 공간
- 확률변수
- 확률분포
베르누이 분포
시행
각 시행의 결과는 성공(A) 또는 실패(B)
성공 확률은 p, 실패 확률은 1-p
각 시행은 서로 독립적 → 모집단의 크기가 충분히 크고, 표본의 크기가 충분히 작다면, 비복원 추출에서도 유효
∴ S = {A,B}, f(1) = P(X=1) = p, f(0) = P(X=0) = 1-p
분포
표기: \(B(1,p)\)
\(f(x) = p^x(1-p)^{1-x}, x = 0, 1\)
\(E(x) = p\)
\(Var(x) = p(1-p)\)
\(m(t) = 1 - p + pe^t\)
p = 0.5일 때, 분산은 0.25로 가장 큰 값을 가짐
이항 분포
시행
n번의 독립적인 베르누이 시행을 했을 때 성공 횟수 X
서로 독립인 n개의 베르누이 분포의 합과 같다.
분포
표기: \(X \sim B(n,p)\)
\(f(x) = {_n}C_x\) \(p^x(1-p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, ..., n\)
\(E(x) = np\)
\(Var(x) = np(1-p)\)
\(m(t) = (1-p + pe^t)^n\)
기하 분포
시행
성공 확률 p인 베르누이 시행을 반복하여 처음 성공할 때까지의 시행 횟수 X
지수분포와 유사하다
기하분포는 비기억 속성을 가진다
분포
표기: \(X \sim G(p)\)
\(f(x) = (1-p)^{x-1}p, x = 1, 2, 3, ...\)
\(E(x) = \frac{1}{p}\)
\(Var(x) = \frac{1-p}{p^2}\)
\(m(t) = \frac{pe^t}{1-qe^t}, (qe^t<1), (q=1-p)\)
\(P(X > x + y | X > x) = P(X > y) = (1-p)^y\)
초기하 분포
시행
모집단의 크기에 비해 샘플의 크기가 작지 않은 경우, 비 복원 추출시 각각의 선택이 베르누이 시행이라 할 수 없다.
\(\frac{r}{N} = p\)로 일정할 때, N을 증가시키면, \(HG(n, N, r)\)은 \(B(n, p)\)로 수렴한다
분포
표기: \(X \sim HG(n, N, r)\)
\(f(x) = \frac{\binom{r}{x}\binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}}, x = 0, 1, 2, ..., n\)
\(E(x) = \frac{nr}{N}\)
\(Var(x) = \frac{nr(N-r)(N-n)}{N^2(N-1)}\)
포아송 분포
시행
임의의 기간동안 어떤 사건이 간헐적으로 발생할 때, 사건이 발생하는 횟수 X
임의의 기간을 n 등분하여 각 등분에서 사건이 발생할 확률이 p라고 할 때, 발생횟수 기댓값 λ를 고정시킨 채로 n을 무한히 증가시킴
n이 매우 크고 p가 매우 작을 때 이항분포를 포아송분포로 근사할 수 있다
포아송 분포 + 포아송 분포 = 포아송 분포: \(P(λ) + P(λ) = P(2λ)\)
분포
표기: \(X \sim P(\lambda)\)
\(f(x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}, x = 0, 1, 2, ...\)
\(E(x) = \lambda\)
\(Var(x) = \lambda\)
\(m(t) = e^{\lambda(e^t-1)}\)